L’equazione di Schrodinger per due o piu’ particelle
Quando si studiano atomi piu’ complessi dell’H, dobbiamo considerare le interazioni fra gli
elettroni che si muovono in un campo centrale. L’equazione di Schrodinger per atomi con molti
elettroni non puo’ essere risolta esattamente, ma solo in modo approssimato. Questo in
generale succede anche nella fisica classica per sistemi a molti corpi. Nella meccanica
quantistica una difficolta’ maggiore nasce dal fatto che gli elettroni sono indistinguibili. Una
conseguenza di questo e’ data dal
PRINCIPIO DI ESCLUSIONE DI PAULI
.
Consideriamo due particelle di massa m, l’equazione di Schrodinger e’
!
"
h
2
2
m
#
2
$
(
x
1
,
x
2
)
#
x
1
2
"
h
2
2
m
#
2
$
(
x
1
,
x
2
)
#
x
2
2
+
V
$
(
x
1
,
x
2
)
=
E
$
(
x
1
,
x
2
)
Dove x
1
e x
2
sono le coordinate delle due particelle. Se le due particelle non interagiscono fra di
loro per cui il potenziale puo’ scriversi come V = V
1
(
x
1
)
+V
2
(
x
2
)
allora le soluzioni dell’equazione
possono essere scritte come prodotto di soluzioni di singola particella e di loro combinazioni
lineari.
!
"
nm
(
x
1
,
x
2
)
=
"
n
(
x
1
)
"
m
(
x
2
)
Per particelle identiche deve valere
"
(
x
1
,
x
2
)
2
=
"
(
x
2
,
x
1
)
2
"
(
x
2
,
x
1
)
= +
"
(
x
1
,
x
2
)
#
simmetrica
"
(
x
2
,
x
1
)
=
$
"
(
x
1
,
x
2
)
#
antisimmetrica
